почему, когда курсор стоит в чате, работает alt+enter, но не работает ctrl+->? Это офигеть как неудобно и нелогично

все вопросы − к разработчику операционной системы.

ctrl+enter не обрабатывается полем ввода чата и идёт дальше, обрабатываясь страницей должным образом, а ctrl+→ − обрабатывается полем ввода и дальше никуда не идёт, соответственно и страницей не перехватывается.
закрой чат в заезде и не морочь себе голову.

ок, давайте сделаем другие кнопки для перехода в следующий заезд, чтобы "обрабатывалось"

давайте

Возникла такая ерунда. В соревнованиях. Что делать?

ничего, забить.