[{{mminutes}}:{{sseconds}}] X
Пользователь приглашает вас присоединиться к открытой игре игре с друзьями .
Сферические функции и вариационное исчисление
(0)       Использует 1 человек

Комментарии

Ни одного комментария.
Написать тут
Описание:
Избранные главы современного естествознания
Автор:
xsy
Создан:
16 марта 2013 в 08:53 (текущая версия от 27 марта 2013 в 22:51)
Публичный:
Да
Тип словаря:
Книга
Последовательные отрывки из загруженного файла.
Содержание:
236 отрывков, 119782 символа
1 Б. В. Пальцев
Сферические функции
Данное пособие посвящено изложению основ теории сферических
функций и предназначено для студентов, изучающих соответству-
ющий раздел курса уравнений математической физики. Избран-
ная схема изложения основывается на использовании элементарных
свойств оператора Лапласа–Бельтрами на единичной сфере и связи
собственных функций этого оператора — сферических функций с
шаровыми функциями — однородными гармоническими многочле-
нами.
2 Для исследования поведения решений уравнения Лежандра в
окрестностях особых точек привлекаются факты из аналитической
теории обыкновенных дифференциальных уравнений с правильными
особенностями. В заключение дано применение сферических функ-
ций к решению задачи Дирихле для уравнения Лапласа в областях
в R3 , обладающих сферической симметрией.
В дальнейшем будем обозначать:
C k (), где k 0 — целое, — область в Rn , — пространство
функций непрерывных в вместе со всеми своими частными
производными до k-го порядка включительно;
C k (), k 0 — целое, — подпространство пространства
C k (), состоящее из функций, которые вместе со всеми сво-
ими производными до k-го порядка допускают продолжения в
замыкание области как непрерывные на функции;
C() = C 0 () и C() = C 0 () — пространства непрерывных
функций на и соответственно.
3 Функция u(x) C 2 (), удовлетворяющая в области урав-
нению Лапласа u(x) = 0, называется гармонической в .
Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Лапласа
u(x) = 0,
u = u0 (x), = — граница ,
x = (x1 ,x2 ,x3 ) R3 ,
где — область в R3 , обладающая круговой симметрией:
либо шар = {x : x < R},
либо внешность шара = {x : x > r},
либо шаровой слой = {x : r < x < R},
u0 (x) C(), где C() — пространство непрерывных функций
на , а, если необходимо, и достаточно гладкая заданная на
функция.
4 Оказывается, что для решения и этой задачи можно раз-
вить метод Фурье. При этом возникают новые специальные
функции — так называемые сферические функции.
1. Оператор Лапласа в сферической системе
Естественно перейти в задаче (1)
к сферической системе координат
,,:

= x = x2 + x2 + x2 ,
1
2
3
— угол между осью Ox3 и вектором
x, отсчитываемый от оси Ox3 ,
— угол между осью Ox1 и проек-
цией x вектора x на плоскость x3 =
= 0, отсчитываемый от оси Ox1 .
5 При этом
x2
x1 = sin cos ,
(при = 0 и не определяются однозначно).
Выведем уравнение Лапласа в сферической системе коор-
динат. Поскольку
u = div grad u,
то для этого следует получить выражения в сферической си-


стеме для grad u и div F , где u — скалярное, а F — векторное
поля в .
Если u(x) = u(x1 ,x2 ,x3 ) — некоторая функция в , то через
u(,,) будем обозначать выражение функции u(x) в сфери-

ческой системе

Итак, нам нужно получить выражение u(,,) через
u(,,).
6 1 . Обозначим через e1 ,e2 ,e3 ортонормированный базис ис-
ходной декартовой системы Ox1 ,x2 ,x3 . Пусть
x2 = sin sin ,
0, 0 , 0 2
u(,,) = u( sin cos , sin sin , cos ).

F = F 1 e1 + F 2 e2 + F 3 e3

— некоторое векторное поле в ( F = F (x) — вектор-

функция на ), {F 1 ,F 2 ,F 3 } — координаты F в базисе e1 ,e2 ,e3 .
Каждой точке x , x = 0, со сферическими координатами
(,,) поставим в соответствие подвижный ортонормирован-
ный репер e ,e ,e (тройку взаимно ортогональных единичных
векторов):
(
)
x
e = (sin cos , sin sin , cos )
=
,

(
)
1 x
e = (cos cos , cos sin , sin )
=
,
(5)

(
)
1 x
e = ( sin , cos ,0)
=
.
7 sin
Легко видеть, что эти векторы — единичные касательные век-
торы соответственно к координатным линиям
Разложим вектор F по ортонормированному базису (5)
, = const ,

F = F e + F e + F e ,

{F ,F ,F } — координаты F в базисе (5) или, как мы их бу-

дем называть, координаты вектора F в сферической системе.
В силу ортонормированности репера (5)




F = ( F ,e ) = F 1 sin cos + F 2 sin sin + F 3 cos ,




F = ( F ,e ) = F 1 cos cos + F 2 cos sin F 3 sin ,


F = ( F ,e ) = F 1 sin + F 2 cos ,

где F k — декартовы координаты F k , выраженные как скаляр-
ные функции в сферической системе.
8 2 . Получим выражение координат вектора u = grad u,
u C 1 (), в сферической системе. Дифференцируя (3) после-
довательно по , и , имеем




u
u
u
u
=
sin cos +
sin sin +
cos ,

x1
x2
x3



1
u
u
u
u
=
cos cos +
cos sin
sin ,

x1
x2
x3


1
u
u
u
=
sin +
cos .
sin
x1
x2
u
u
u
,
,
x1 x2 x3
}
— координаты u в декартовой
системе, в силу (7) получаем



u
1 u
1 u
, (u) =
, (u) =
.


sin
3 .
9 Пусть теперь F — гладкое векторное поле в . Полу-


чим выражение div F в сферической системе, т.е. выражение
этой функции через F , F , F . Для этого сначала выразим

ношения (8) как систему линейных уравнений относительно
величин x , x , x . Учитывая то, что матрица такой си-
1
2
3
стемы — ортогональная матрица, а обратная к ортогональной
где u — произвольная гладкая функция в ,

u
. Это легко сделать, рассматривая соот-


u
матрице является транспонированная к ней, получаем

u

u
1
u
1
u
=
sin cos +
cos cos
sin ,
x1


sin


u
1
u
1
u
u
=
sin sin +
cos sin +
cos ,
x2


sin

u

u
1
u
=
cos
sin .
10 x3
Используя эти выражения, мы получаем (выполняя на последней стадии суммирование по столбцам и тождественные преобразования)
F 1 F 2 F 3 div F =++=
x1x2x3F 11 F 11 F 1=sin cos +cos cos
sin + sin F 21 F 21 F 2+sin sin +cos sin +cos +
sinF 31 F 3+cos sin =) ( 1=F sin cos + F 2 sin sin + F 3 cos +)
1 ( 1+F cos cos + F 2 cos sin F 3 sin +)1 (
+ F 1 sin cos + F 2 sin sin + F 3 cos +)1 ( 1
+F sin + F 2 cos + sin )1 ( 1+F cos + F 2 sin = sin
F 1 F F1 F ++++ sin )1 ( 1+
F cos + F 2 sin .
 

Связаться
Выделить
Выделите фрагменты страницы, относящиеся к вашему сообщению
Скрыть сведения
Скрыть всю личную информацию
Отмена