если слева больше нуля, а справа меньше нуля, значит где-то между ними равно

Ну почему же, можно и теорему Вейерштрасса о функции на компакте

Пусть есть N шариков каждого цвета.
1. Очевидно, крайние шарики ударятся один раз и мы их больше не видели.
2. Предпоследние сделают по 3 столкновения - два по пути в центр и одно по пути обратно. Но то, что по пути обратно, уже учтено в п.1. Остается по 2 столкновения по пути в центр, которые надо посчитать.
3. Следующие шарики сделают по 5 столкновений - три в центр и два обратно. Обратные уже учтены в 2, поэтому добавляется еще 3 столкновения.
Итд. Т.е. самые первые шарики ударятся по пути в центр N раз.
Общее количество столкновений (1+...+(N-1))*2+N (все шарики, кроме самых ближних к центру, бьются в своей группе, а центральные бьются друг о друга, поэтому их количество столкновений по пути в центр на 2 умножать не надо.
(1+(N-1))/2*(N-1)*2+N=N*(N-1)+N=N^2

По сути ж для нас столкновение шариков имеет тот же эффект, что и если бы они проехали друг сквозь друга - в любом случае один шарик катится в одну сторону, а другой в другую. (Шарики у нас математические, поэтому можно считать их размеры бесконечно малыми по сравнению с расстоянием между ними.)
Соответственно, количество столкновений будет равно количеству встреч шариков, которые при столкновении будут продолжать двигаться в своем направлении. А это не что иное как N*M - где N количество шариков с одной стороны, а M - с другой.
Такие дела.

100. правильно? :)