| 1 |
Необходимость применения численного интегрирования чаще всего может быть вызвана отсутствием у первообразной функции представления в элементарных функциях и, следовательно, невозможностью аналитического вычисления значения определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Также возможна ситуация, когда вид первообразной настолько сложен, что быстрее вычислить значение интеграла численным методом. |
| 2 |
В прикладных задачах подынтегральная функция может быть задана не аналитически, а таблично - набором конкретных значений на некотором интервале. В таких случаях, как правило, проще численно рассчитать значение интеграла непосредственно по таблице значений, чем искать аналитическое выражение для функции и затем интегрировать его. |
| 3 |
В небольших размерностях можно также применять квадратурные формулы, основанные на многочленах Лагранжа. Однако, в больших размерностях эти методы становятся неприемлемыми из-за быстрого возрастания числа точек сетки или сложной границы области. В этом случае применяется метод Монте-Карло. Генерируются случайные точки в области и усредняются значения функции в них. Также можно использовать смешанный подход — разбить область на несколько частей, в каждой из которых (или только в тех, где интеграл посчитать не удаётся из-за сложной границы) применить метод Монте-Карло. |
| 4 |
Формально, методом Рунге-Кутты является модифицированный и исправленный метод Эйлера. Существуют стандартные схемы третьего порядка, не получившие широкого распространения. Наиболее часто используется и реализована в различных математических пакетах стандартная схема четвёртого порядка. Иногда при выполнении расчётов с повышенной точностью применяются схемы пятого и шестого порядков. |
| 5 |
Построение схем более высокого порядка сопряжено с большими вычислительными трудностями. Методы седьмого порядка должны иметь по меньшей мере девять стадий, в схему восьмого порядка входит одиннадцать стадий. Хотя схемы девятого порядка не имеют большой практической значимости, неизвестно, сколько стадий необходимо для достижения этого порядка точности. |
| 6 |
Логарифм комплексного числа может быть определён как аналитическое продолжение вещественного логарифма на всю комплексную плоскость. Пусть кривая начинается в единице, не проходит через нуль и не пересекает отрицательную часть вещественной оси. Если разрешить кривой пересекать отрицательную часть вещественной оси, то первое такое пересечение переносит результат с ветви главного значения на соседнюю ветвь, а каждое следующее пересечение вызывает аналогичное смещение по ветвям логарифмической функции. |
| 7 |
Теорема Лиувилля о конформных отображениях выявляет бедность класса конформных отображений в пространстве, и с этой точки зрения она весьма важна в теории аналитических функций многих комплексных переменных и в теории квазиконформных отображений. Конформное отображение сохраняет форму бесконечно малых фигур и сохраняет углы между кривыми в точках их пересечения (свойство сохранения углов). |
| 8 |
Голоморфные функции также называют иногда аналитическими, хотя второе понятие гораздо более широкое, так как аналитическая функция не обязана быть определена на множестве комплексных чисел. Тот факт, что для комплекснозначных функций комплексной переменной множества голоморфных и аналитических функций совпадают, является нетривиальным и весьма замечательным результатом комплексного анализа. |
| 9 |
На прямой, плоскости и вообще в вещественном аффинном пространстве А системы координат состоят из точки (начала и репера), переход определяется вектором переноса начала и заменой репера. Этот переход положителен, если положителен определитель матрицы замены, например, при чётной перестановке векторов репера. |
| 10 |
Понятие ориентации допускает естественное обобщение и для случая бесконечномерного многообразия, моделированного при помощи бесконечномерного банахова, или топологического векторного, пространства. При этом необходимы ограничения на линейные операторы, являющиеся дифференциалами функций перехода от карты к карте: они должны не просто принадлежать общей линейной группе всех изоморфизмов моделирующего пространства, которая гомотопически тривиальна (в равномерной топологии) для большинства классических векторных пространств, а содержаться в некоторой линейно несвязной подгруппе общей линейной группы. |
| 11 |
Тогда компонента связности данной подгруппы и будет задавать "знак" ориентации. В качестве такой подгруппы обычно выбирается фредгольмова группа, состоящая из тех изоморфизмов моделирующего пространства, для которых разность с тождественным изоморфизмом есть вполне непрерывный оператор, то есть оператор из банахова пространства; он непременно ограничен, а значит, и непрерывен. |
| 12 |
Символ линейного дифференциального оператора сопоставляет дифференциальному оператору многочлен. Грубо говоря, заменяя композицию частных производных на произведение ассоциированных с ними переменных. Старшие мономы символа оператора отражают качественное поведение решения уравнения в частных производных, соответствующего этому оператору. Линейные эллиптические уравнения в частных производных характеризуются тем, что их главный символ нигде не обращается в ноль. |
| 13 |
Теоремой Хана-Банаха называют несколько связанных между собой классических результатов функционального анализа: теорему о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты, теорему о разделении выпуклых множеств и теорему о непрерывном продолжении линейного функционала. Всякий линейный ограниченный функционал, определённый на линейном многообразии линейного нормированного пространства, можно продолжить на всё пространство с сохранением нормы. Для любых двух различных точек линейного пространства существует линейный функционал, определённый на всём пространстве и такой, что его значения в этих точках различны. |
| 14 |
Ленту Мёбиуса можно рассматривать как более наглядную интерпретацию одномерной бутылки Клейна — замкнутой кривой на плоскости, такой, что по отношению к этой кривой плоскость не подразделяется на внутреннюю и внешнюю части. Как и двухмерную бутылку Клейна в пространстве, рассмотренную кривую нельзя изобразить на плоскости без самопересечения. |
| 15 |
Вдоль любого пути можно выбрать цепочку карт так, что две соседние карты будут связаны положительно. Тем самым ориентация в первой точке определяет ориентацию во второй точке, и эта связь зависит от пути лишь с точностью до его непрерывной деформации при фиксированных концах. Возникает гомоморфизм фундаментальной группы в группу второго порядка: дезориентирующие петли переходят в минус единицу, а остальные - в плюс единицу. По этому гомоморфизму строится накрытие, являющееся двулистным в случае неориентируемого многообразия. |
| 16 |
Многомерное замкнутое многообразие является конечным симплициальным разбиением со свойствами неразветвлённости, сильной связности и размерностной однородности. Если некоторая триангуляция топологического пространства является псевдомногообразием, то и любая его триангуляция является псевдомногообразием. Поэтому можно говорить о свойстве топологического пространства быть (или не быть) псевдомногообразием. |
| 17 |
Локальный показатель Гёльдера может быть рассчитан, исходя из спада коэффициентов вейвлет-преобразования функции, находящихся на линии локальных максимумов модуля вейвлет-преобразования, и может произвольно изменяться во времени. Это изменение способно создаваться функцией с так называемыми неизолированными нерегулярностями, где функция имеет разную регулярность по Гёльдеру в каждой точке. |
| 18 |
Хотя большинство свойств оператора набла следует из алгебраических свойств операторов и чисел и становятся вполне очевидными, если рассматривать его как вектор, нужно соблюдать осторожность. Оператор набла не принадлежит тому же пространству, что и обычные векторы, а говоря точнее, скалярное и векторное произведение для него определены с некоторыми отличиями, сводящимися к тому, что, как это обычно подразумевается, оператор действует на те поля, что стоят от него справа, и не действует на стоящие от него слева. |
| 19 |
В приложениях тензорного анализа, в частности, к дифференциальной геометрии при записи выражений из многокомпонентных величин, пронумерованных верхними и нижними индексами, для экономии записи бывает удобно использовать правило, называемое соглашением Эйнштейна: если одна и та же буква в обозначении индекса встречается и сверху, и снизу, то такой член полагается просуммированным по всем значениям, которые может принимать этот индекс. |
Комментарии