| 1 |
Сложение Правило 1. Чтобы сложить два отрицательных числа, надо сложить их абсолютные величины и перед полученной суммой поставить знак минус. Сложение Правило 2. Чтобы сложить два числа, из которых одно положительное, а другое отрицательное и которые имеют разные абсолютные величины, надо из большей абсолютной величины вычесть меньшую перед полученным результатом поставить знак того из слагаемых, у которого абсолютная величина больше. |
| 2 |
Сложение Правило 3. Сумма двух противоположных чисел равна нулю. Замечание. Сумма двух непротивоположных чисел отлична от нуля. Следствие. Сумма двух чисел равна нулю, лишь тогда, когда эти числа противоположны. Сложение Правило 4. Если одно из двух слагаемых равно нулю, то сумма равна другому слагаемому. |
| 3 |
Сложение трех и более чисел. Чтобы найти сумму трех и более чисел, достаточно к первому числу прибавить второе, затем к полученному результату прибавить третье и т.д. Основные свойства сложения. 1. Сумма двух чисел не изменяется от изменения порядка слагаемых. 2. Сумма не изменится, если в ней часть слагаемых мы заменим их суммой. Правило. При вычислении суммы любого числа слагаемых можно произвольно переставлять эти слагаемые, а также произвольно разбивать их на группы и каждую группу слагаемых заменять их суммой. Следствие. Чтобы прибавить сумму, можно прибавить одно за другим все входящие в него слагаемые. |
| 4 |
Вычитание. Вычесть из первого числа второе - это значит найти такое третье число, сумма которого со вторым даст первое. Правило. Чтобы вычесть из одного числа другое, достаточно к первому прибавить число, противоположное второму. Введение отрицательных чисел делает выполнимым действие вычитания во всех случаях. |
| 5 |
Умножение. 1. Произведение двух отрицательных чисел равно произведению их абсолютных величин. 2. Произведение двух чисел, одно из которых положительное, а второе отрицательное, равно отрицательному числу, абсолютная величина которых равна произведению абсолютных величин сомножителей. 3. Произведение двух чисел равно нулю, если хотя бы одно из них равно нулю. |
| 6 |
Произведение трех и более чисел. Чтобы найти произведение трех и более чисел, достаточно первое умножить на второе, затем полученный результат умножить на третье и т.д. |
| 7 |
Основные свойства умножения: 1. Произведение чисел не меняется от перемены мест множителей. 2. Произведение не изменится, если часть множителей заменить их произведением. 3. Произведение суммы чисел на число равно сумме произведений слагаемых на это число. Правило: Произведение любого числа множителей не изменится, если произвольно переставлять множители, а также если их произвольно разбивать на группы и каждую группу множителей заменять их произведением. |
| 8 |
Деление. Разделить первое на второе - это значит найти такое третье число, произведение которого на второе равно первому. Правило: Абсолютная величина частного равна частному от деления абсолютной величины делимого на абсолютную величину делителя. При этом частное будет положительным, если делимое и делитель оба положительны или оба отрицательны. Частное будет отрицательным, если из двух чисел - делимого и делителя - одно положительно, а другое отрицательно. Частное равно нулю, если делимое равно нулю, а делитель отличен от нуля. |
| 9 |
Особенности нуля. 1. Если одно из двух слагаемых есть нуль, то сумма равна другому слагаемому. 2. Если один из множителей есть нуль, а остальные несколько множителей какие угодно числа, то произведение также будет равно нулю. Следствие: Если делимое есть нуль, а делитель не нуль, то частное будет представлять собой также нуль. 3. Деление на нуль невозможно. |
| 10 |
Особенности положительной единицы. Если один из множителей есть +1, то произведение равно другому множителю, каким бы числом он ни был. Следствие: Если делитель равен +1, то частное равно делимому. Понятия БОЛЬШЕ и МЕНЬШЕ применительно к положительным и отрицательным числам. |
| 11 |
Определение: Если разность между двумя числами положительна, то число, являющееся уменьшаемым, условились считать большим числа, являющегося вычитаемым. Следствие 1: Всякое положительное число больше нуля и больше всякого отрицательного числа Следствие 2: Всякое отрицательное число меньше нуля и меньше всякого положительного числа. Следствие 3: Из двух отрицательных чисел то больше, у которого абсолютная величина меньше. |
| 12 |
Числовая ось. Многим свойствам чисел можно придать наглядность с помощью числовой оси. Возьмем прямую с начальной на ней точкой О и примем длину некоторого отрезка за единицу. Эту прямую условимся называть осью. Отложим на оси от точки О единицу длины вправо и влево 1,2,3,4,5 и т.д. раз. Концы полученных отрезков, расположенных справа, отметим с помощью положительных чисел, +1,+2,+3,+4,+5 и т.д., а расположенные слева - с помощью отрицательных чисел -1,-2,-3,-4,-5 и т.д. Числу нуль поставим в соответствие начальную точку О. Таким образом каждое целое число (положительное, отрицательное и нуль) изобразится одной и только одной точкой на оси . |
| 13 |
Когда мы говорим, что число изображается точкой, то это не следует понимать так, что точка и число представляют собой одно и то же. Напротив, точка и число совершенно различные понятия, совершенно различные вещи. Поэтому, когда мы говорим, что данная точка есть изображение числа 12,5, то это значит, что эта точка находится на расстоянии 12,5 единиц длины вправо от начальной точки О. |
| 14 |
Прямая, на которой указанным выше способом отмечены точки, соответствующие положительным и отрицательным числам, называется числовой осью. Число, которое изображается данной точкой, называется координатой этой точки. Расположение чисел в порядке возрастания наглядно видно на числовой оси. Изображение двух противоположных чисел симметричны относительно начальной точки О. Два числа считаются равными, если их разность равна нулю. |
| 15 |
Геометрическое истолкование умножения. Вводим еще одно геометрическое изображение положительных и отрицательных чисел. Каждому числу поставим в соответствие вектор (т.е. направленный отрезок), началом которого служит начальная точка числовой оси а концом - точка, являющаяся изображением данного числа на числовой оси. Какая операция над векторами соответствует операции умножения двух чисел. 1. Умножив число +5 на число +1, получим +5; умножив число -5 на =1, получим -5, т.е. при умножении числа на + вектор, соответствующий произведению, совпадает с вектором, соответствующим множемому. |
| 16 |
Операции над векторами. 2. Умножив число +5 на число -1, получим -5; умножив число -5 на -1, получим +5, т.е. при умножении числа на -1 вектор, соответствующий произведению, получается из ветора, соответствующего множимому, путем его поворота на 180 градусов. 3. Умножив +5 на +3, получим +15; умножив -5 на +3, получим -15, т.е. при умножении на положительное число вектор, соответствующий произведению, получается из вектора, соответствующего множимому, путем только изменения его длины( т.е. путем растяжения или сжатия). Растяжение получается. когда абсолютная величина множителя больше единицы. Сжатие же, - когда эта абсолютная величина меньше единицы. 4. Умножив +5 на -3, получим -15; умножив -5 на -3, получим +15, т.е. при умножении на отрицательное число вектор, соответствующий произведению, получается из вектора, соответствующего множимому, путем его поворота на 180 градусов и изменения его длины( растяжения или сжатия). Не нужно забывать, что сомножители равноправны. Поэтому во всех этих примерах можно поменять ролями множимое и множитель. |
| 17 |
Изменение величин. С помощью положительных и отрицательных чисел в алгебре, принято изображать не только сами величины, но также и их измения. Среди величин существуют и такие, которые могут изменяться лишь в одном направлении (возраст человека, запас горючего в изолированном транспортном средстве) , и такие, которые могут изменяться в двух противоположных направлениях (наличность приходо-расходной кассы, температура, расстояние по железной дороге от станции до паровоза). Условимся изображать изменение величины в одном из двух противоположных направлений с помощью положительного числа, а в другом с помощью отрицательного числа. Изменение расстояния по железной дороге от станции до паровоза мы рассмотрим на двух примерах, существенно отличающихся друг от друга. |
| 18 |
Пример 1. Пусть величина, изменение которой мы будем изучать , есть расстояние между тупиковой станцией и паровозом. Само это расстояние является величиной, отсчёт которой в двух противоположных направлениях смысла не имеет, между тем как изменения этой величины могут происходить в двух противоположных направлениях. (Расстояние между тупиковой станцией и паровозом может и увеличиваться и уменьшаться). Под фразой: Расстояние между тупиковой станцией и паровозом изменилось на +2, мы будем понимать, что паровоз переместился на 2 км по направлению, противоположному станции; тогда под фразой: Расстояние между тупиковой станцией и паровозом изменилось ра -2 км, мы обязаны понимать, что паровоз переместился на 2 км в сторону станции. |
| 19 |
Пример 2. Пусть величина, изменение которой мы будем изучать, есть расстояние от ст.Бологое до паровоза. Это расстояние в сторону Москвы, как и раньше, условимся выражать положительным числом, а в сторону Ленинграда - отрицательным числом. Условимся выражать изменение этого расстояния положительным числом в том случае, когда этому изменению соответствует перемещение паровоза от первоначального положения по направлению к Москве, а отрицательным - по направлению к Ленинграду. Пусть первоначальное расстояние равно +100 км. Тогда при его изменнии на +10 км расстояние станет равным +110 км. Если же первоначальное расстояние +100 км изменить на -10 км, то расстояние станет равным +90 км. Пусть первоначальное расстояние равно -100 км. Тогда при его изменении на +10 км расстояние станет равным -90 км. Если же первоначальное расстояние изменить на -10 км, то оно станет равным -110 км. |
| 20 |
О выражениях вида +(+5); +(-5); -(+5); -(-5); Условимся считать, что знак плюс, поставленный перед каким-нибудь числом, оставляет это число без изменения. Условимся считать, что знак минус, поставленный перед каким-нибудь числом, изменяет это число, на число ему противоположное. |
| 21 |
Употребление букв для обозначения чисел. Буквенная символика. Буква - это письменный знак для обозначения каждого отдельного звука речи. Буквы употребляют и для обозначения чисел. Поясним когда обозначать число буквой полезно и даже необходимо и когда это делать нет пользы. Пример 1. Когда дежурный по классу докладывает классному руководителю устно или письменно о числе учеников, не явившихся в этот день на занятия, то он произносит наименование этого числа или записывает его цифрами. Например, говорит: четыре или записывает: 4. В данном случае нет смысла число 4 обозначать буквой. |
| 22 |
Пример 2. Если же мы хотим сказать о числе учаников, которые в конце текущего учебного года закончат данную школу с золотой медалью, то мы можем это число обозначить какой-нибудь буквой, например буквой а, так как мы еще не знаем сколько таких учеников окажется. Если таких учеников окажется 3, то мы скажем, что а = 3, если их окажется 10, то а =10, если же не окажется ни одного, то а = 0. Пример 3. Пусть произведение двух чисел равна 53 19\36 и при этом второе число на единицу больше первого. Если теперь мы захотим назвать первое число, то придется его обозначить какой-нибудь буквой, например буквой х, так как оно нам неизвестно. Если бы нам удалось найти это число, то оказалось бы, что х = 6 5\6. |
| 23 |
Пример 4. Пусть паровоз двигается без остановок со скоростью 80 км в час по Октябрьской железной дороге по направлению от Ленинграда к Моске и пусть в нуль часов (т.е в полночь) проходит ст.Бологое. Расстояние от ст.Бологое в сторону Москвы будем считать положительным, а в сторону Ленинграда отрицательным. При этих условиях расстояние от ст.Бологое до локомотива будет все время изменяться, а потому не может быть выражено каким-нибудь одним числом. Целесообразно величину этого расстояния обозначить какой-нибудь буквой, например буквой S. Тогда через час после полуночи S = 80; через 1 час 30 мин. S= 120 и т.д. За один час до полуночи S = -80; за 1 час 30 мин. до полуночи S = -120 и т.д. |
| 24 |
В алгебре любая буква, например а, может в одном случае обозначать собой число -5; в другом +17 1\2 и т.д., под буквой а мы можем подразумевать любое известное или неизвестное отвлеченное число. Если буквой а обозначено, скажем число жильцов в доме, то в это случае под буквой а нельзя подразумевать ни дробного, ни отрицательного числа. Если буквой а обозначена длина веревки, то под буквой а нельзя подразумевать отрицательного числа. Если число учеников, получивших золотую медаль, мы обозначим буквой а, то число учеников, получивших серебряную медаль, следует обозначить какой-либо другой буквой, например буквой b. Если мы захотим выразить число всех медалистов (и тех и других), то напишем a + b. |
| 25 |
Если при рассмотрении какого-либо вопроса одна и та же буква, например буква х, употребляется несколько раз, то под значением этой буквы во всех случаях мы должны мыслить одно и то же. Для обозначения чисел общепринято употреблять буквы латинского и греческого алфавита. Какие же обстоятельства побуждают нас к тому, чтобы употребление букв для обозначения чисел сделать систематическим и какая от этого получается польза? Решение всякой более или менее сложной арифметической задачи сводится к выполнению некоторой определенной последовательности действий над числами, данными в условии задачи. В итоге всех этих действий получается числовой ответ задачи. Если же мы эти действия не станем выполнять, а будем их только указывать, то в итоге получим некоторое арифметическое выражение, значение которого и будет ответом задачи. |
| 26 |
Решение задачи, записанное в виде арифметического выражения, имеет то преимущество, что позволяет видеть в собранной форме ту последовательность действий, которая решает данную задачу. Если мы изменим числа, данные в условии задачи, то полученная в арифметическом выражении последовательность действий не изменится. Конечно, числовое значение выражения не будет определенным; оно будет зависеть от того, какие отдельные числовые значения мы станем давать буквам |
| 27 |
Все такие значения букв, при которых данное выражение не теряет смысла, называют допустимыми для данного выражения. Числовым значением алгебраического выражения при заданных значениях букв называется тот результат, который получится после замены букв их значениями и выполнения всех действий. |
| 28 |
Выражение, в котором последнее действие есть сложение или вычитание называется многочленом. Всякое выражение, в котором последнее действие не есть сложение или вычитание, называется одночленом. Если в рациональном выражении не содержится деление на буквенное выражение, то это рациональное выражение называется целым. Всякое алгебраическое выражение, в котором нет никаких других действий, кроме сложения, вычитания, умножения, деления и возведения целую степень называется рациональным. |
| 29 |
с.71 Туманов Чтобы возвести степень числа в новую степень, достаточно возвести это число в степень, показатель которой равен произведению показателей степеней. |
| 30 |
с.70 Туманов Чтобы возвести частное в степень, достаточно возвести в эту степень делимое и делитель и первый результат разделить на второй. |
| 31 |
произведение степеней с одинаковыми показателями равно степени, основанием которой служит произведение оснований данных степеней. |
| 32 |
Чтобы возвести произведение в степень, можно возвести в эту степень каждый множитель, в отдельности и полученные степени перемножить. |
| 33 |
с.69 Туманов Числовой множитель, выраженный цифрами, называется числовым коэффициентом. |
| 34 |
с.68 Туманов Действие, с помощью которого вычисляется значение степени, называется возведением в степень. |
| 35 |
с.67 Туманов Повторяющийся множитель называется основанием степени, а число всех одинаковых множителей называется показателем степени. |
| 36 |
Степенью называется произведение, составленное из одинаковых множителей. |
| 37 |
|
Комментарии