| Сферические функции и вариационное исчисление |
| 1 | Б. В. Пальцев Сферические функции Данное пособие посвящено изложению основ теории сферических функций и предназначено для студентов, изучающих соответству- ющий раздел курса уравнений математической физики. Избран- ная схема изложения основывается на использовании элементарных свойств оператора Лапласа–Бельтрами на единичной сфере и связи собственных функций этого оператора — сферических функций с шаровыми функциями — однородными гармоническими многочле- нами. |
| 2 | Для исследования поведения решений уравнения Лежандра в окрестностях особых точек привлекаются факты из аналитической теории обыкновенных дифференциальных уравнений с правильными особенностями. В заключение дано применение сферических функ- ций к решению задачи Дирихле для уравнения Лапласа в областях в R3 , обладающих сферической симметрией. В дальнейшем будем обозначать: C k (), где k 0 — целое, — область в Rn , — пространство функций непрерывных в вместе со всеми своими частными производными до k-го порядка включительно; C k (), k 0 — целое, — подпространство пространства C k (), состоящее из функций, которые вместе со всеми сво- ими производными до k-го порядка допускают продолжения в замыкание области как непрерывные на функции; C() = C 0 () и C() = C 0 () — пространства непрерывных функций на и соответственно. |
| 3 | Функция u(x) C 2 (), удовлетворяющая в области урав- нению Лапласа u(x) = 0, называется гармонической в . Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Лапласа u(x) = 0, u = u0 (x), = — граница , x = (x1 ,x2 ,x3 ) R3 , где — область в R3 , обладающая круговой симметрией: либо шар = {x : x < R}, либо внешность шара = {x : x > r}, либо шаровой слой = {x : r < x < R}, u0 (x) C(), где C() — пространство непрерывных функций на , а, если необходимо, и достаточно гладкая заданная на функция. |
| 4 | Оказывается, что для решения и этой задачи можно раз- вить метод Фурье. При этом возникают новые специальные функции — так называемые сферические функции. 1. Оператор Лапласа в сферической системе Естественно перейти в задаче (1) к сферической системе координат ,,: = x = x2 + x2 + x2 , 1 2 3 — угол между осью Ox3 и вектором x, отсчитываемый от оси Ox3 , — угол между осью Ox1 и проек- цией x вектора x на плоскость x3 = = 0, отсчитываемый от оси Ox1 . |
| 5 | При этом x2 x1 = sin cos , (при = 0 и не определяются однозначно). Выведем уравнение Лапласа в сферической системе коор- динат. Поскольку u = div grad u, то для этого следует получить выражения в сферической си- стеме для grad u и div F , где u — скалярное, а F — векторное поля в . Если u(x) = u(x1 ,x2 ,x3 ) — некоторая функция в , то через u(,,) будем обозначать выражение функции u(x) в сфери- ческой системе Итак, нам нужно получить выражение u(,,) через u(,,). |
| 6 | 1 . Обозначим через e1 ,e2 ,e3 ортонормированный базис ис- ходной декартовой системы Ox1 ,x2 ,x3 . Пусть x2 = sin sin , 0, 0 , 0 2 u(,,) = u( sin cos , sin sin , cos ). F = F 1 e1 + F 2 e2 + F 3 e3 — некоторое векторное поле в ( F = F (x) — вектор- функция на ), {F 1 ,F 2 ,F 3 } — координаты F в базисе e1 ,e2 ,e3 . Каждой точке x , x = 0, со сферическими координатами (,,) поставим в соответствие подвижный ортонормирован- ный репер e ,e ,e (тройку взаимно ортогональных единичных векторов): ( ) x e = (sin cos , sin sin , cos ) = , ( ) 1 x e = (cos cos , cos sin , sin ) = , (5) ( ) 1 x e = ( sin , cos ,0) = . |
| 7 | sin Легко видеть, что эти векторы — единичные касательные век- торы соответственно к координатным линиям Разложим вектор F по ортонормированному базису (5) , = const , F = F e + F e + F e , {F ,F ,F } — координаты F в базисе (5) или, как мы их бу- дем называть, координаты вектора F в сферической системе. В силу ортонормированности репера (5) F = ( F ,e ) = F 1 sin cos + F 2 sin sin + F 3 cos , F = ( F ,e ) = F 1 cos cos + F 2 cos sin F 3 sin , F = ( F ,e ) = F 1 sin + F 2 cos , где F k — декартовы координаты F k , выраженные как скаляр- ные функции в сферической системе. |
| 8 | 2 . Получим выражение координат вектора u = grad u, u C 1 (), в сферической системе. Дифференцируя (3) после- довательно по , и , имеем u u u u = sin cos + sin sin + cos , x1 x2 x3 1 u u u u = cos cos + cos sin sin , x1 x2 x3 1 u u u = sin + cos . sin x1 x2 u u u , , x1 x2 x3 } — координаты u в декартовой системе, в силу (7) получаем u 1 u 1 u , (u) = , (u) = . sin 3 . |
| 9 | Пусть теперь F — гладкое векторное поле в . Полу- чим выражение div F в сферической системе, т.е. выражение этой функции через F , F , F . Для этого сначала выразим ношения (8) как систему линейных уравнений относительно величин x , x , x . Учитывая то, что матрица такой си- 1 2 3 стемы — ортогональная матрица, а обратная к ортогональной где u — произвольная гладкая функция в , u . Это легко сделать, рассматривая соот- u матрице является транспонированная к ней, получаем u u 1 u 1 u = sin cos + cos cos sin , x1 sin u 1 u 1 u u = sin sin + cos sin + cos , x2 sin u u 1 u = cos sin . |
| 10 | x3 Используя эти выражения, мы получаем (выполняя на последней стадии суммирование по столбцам и тождественные преобразования) F 1 F 2 F 3 div F =++= x1x2x3F 11 F 11 F 1=sin cos +cos cos sin + sin F 21 F 21 F 2+sin sin +cos sin +cos + sinF 31 F 3+cos sin =) ( 1=F sin cos + F 2 sin sin + F 3 cos +) 1 ( 1+F cos cos + F 2 cos sin F 3 sin +)1 ( + F 1 sin cos + F 2 sin sin + F 3 cos +)1 ( 1 +F sin + F 2 cos + sin )1 ( 1+F cos + F 2 sin = sin F 1 F F1 F ++++ sin )1 ( 1+ F cos + F 2 sin . |
| … |
Комментарии